質問:
伝達関数の極と零点が周波数応答の傾きの変化を引き起こすのはなぜですか?
new_response
2015-10-24 16:57:45 UTC
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周波数がシステムの極またはゼロに近づくと、伝達関数の大きさの傾きが20dB / 10年変化するのはなぜですか?伝達関数について読んだときにこれが述べられているのを見ると、説明されません。伝達関数のこのプロパティの原因は何ですか?

二 答え:
Alejandro Harris Bonet
2015-10-24 22:40:42 UTC
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ロールオフについて読んだことがありますか?ウィキペディアには、このトピックに関する優れた説明があります。基本的に、システムの極またはゼロがある場合、この場合、回路の伝達関数を表します。

Ec1

Ec2

周波数ポイントでのシステムのデシベル単位の大きさを表すには、次の式を使用します。

Ec3

または損失として表す:

Ec4

ω= 1をはるかに超える周波数では、これは次のように単純化されます。

Ec5

ここで、違いを知りたい場合は周波数間のデシベル単位で、同じ式を使用する必要がある場合がありますが、今回は対数で(ω2/ω1)を使用します。

Ec6

ここでの差がデシベル、または周波数の10倍ω1の場合、対数は常に1になります。次に、5番目の式のためにこの結果に20を掛けると、次のようになります。

Ec7

それだけです!たぶんあなたは私があなたに与えた理由以外の別の理由を本当に知りたいのかもしれませんが、それは数学的に説明されています。

Chris Mueller
2015-10-26 17:41:18 UTC
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これは、伝達関数の極と零点の定義の結果にすぎません。ラプラスドメインの伝達関数は、 $$ H(s)= \ frac {b_ms ^ m + ... + b_2s ^ 2 + b_1s + b_0} {a_ns ^ n + ... +と記述されます。 a_2s ^ 2 + a_1s + a_0} $$多項式を因数分解することにより(手作業では簡単に達成できないことが多い)、これを$$ H(s)= \ frac {(s-z_1)(s-z_2)と書き直すことができます。 ..(s-z_m)} {(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}。$$この形式は、極と零点を定義するものです。 $ p_i $は極で、$ z_i $は零点です。

これが10年あたり20dBのルールにどのようにつながるかを確認するために、具体的な例を考えてみましょう。$$ H(s)= \ frac {(s-1000)} {(s-10)(s-100000)}。$$ポイントを説明するために、意図的に極と零点を非常に遠くに広げました。 $ s \ ll 10 $(つまり、$ s $がすべての極と零点よりもはるかに小さい)の場合、これは約$ H(s)\ upperx \ frac {1000} {10 * 100000} $に減少します。機能はフラットです。 $ s \ sim100 $(つまり、最初の極よりはるかに大きいがゼロよりも小さい)の場合、これは約$ H(s)\ approx \ frac {1000} {s * 100000} $になり、伝達関数は20dBで低下します。 10年ごと。ゼロを超えると、たとえば$ s \ sim10000 $で、伝達関数は約$ H(s)\ upperx \ frac {s} {s * 100000} = \ frac {1} {100000} $になり、伝達関数は次のようになります。再びフラット。最後に、$ s \ gg100000 $の場合、伝達関数は約$ H(s)\ approx \ frac {s} {s * s} = \ frac {1} {s} $になり、10年ごとに20dBで再び低下します。 。

正直なところ、このルールの感触をつかむための最良の方法は、単純にいくつかの伝達関数をプロットすることです。 ここにオンラインツールがあり、任意の数の極と零点を入力して、ボード線図がどのように見えるかを確認できます。以下のプロットは、DCゲインを0 dBに設定することを除いて、上記の例の出力を示しています。 「漸近プロット」は上記で説明した近似であり、「実際のプロット」は伝達関数の実際のボード線図です。

magnitude

phase



このQ&Aは英語から自動的に翻訳されました。オリジナルのコンテンツはstackexchangeで入手できます。これは、配布されているcc by-sa 3.0ライセンスに感謝します。
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